Question

已知0°＜α＜β＜90°，且sinα、sinβ是方程x²-（

2

cos40°）x+cos²40°-

1

2

=0的兩個根，求cos（2α-β）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由韋達(dá)定理可得sinα+sinβ=

2

cos40°，①sinαsinβ=cos²40°-

1

2

，②，①²-②×2由三角函數(shù)可得α+β=90°，代入②由角的范圍易得α=5°，β=85°，代入化簡可得．

解答： 解：∵sinα、sinβ是方程x²-（

2

cos40°）x+cos²40°-

1

2

=0的兩個根，
∴sinα+sinβ=

2

cos40°，①
sinαsinβ=cos²40°-

1

2

，②
①²-②×2可得sin²α+sin²β=2cos²40°-2（cos²40°-

1

2

）=1，
∴sinβ=cosα，又0°＜α＜β＜90°，∴α+β=90°
代入②可得sinαsinβ=sinαcosα=

1

2

（2cos²40°-1）=

1

2

cos80°，
∴2sinαcosα=sin2α=cos80°=sin10°，∴α=5°，β=85°
∴cos（2α-β）=cos（-75°）=cos75°=cos（30°+45°）
=

3

2

×

2

2

-

1

2

×

2

2

=

6 - 2

4

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及二倍角公式和誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題．