Question

18．若直線2ax+by-2=0，（a＞0，b＞0）平分圓x²+y²-2x-4y-6=0，則$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值是$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出圓心，根據(jù)直線平分圓，得到直線過(guò)圓心，得到a，b的關(guān)系，利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答 解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-2）²=11，
即圓心為（1，2），
∵直線2ax+by-2=0（a，b∈R⁺）平分圓x²+y²-2x-4y-6=0，
∴直線過(guò)圓心，
即2a+2b-2=0，
∴a+b=1，
則$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）（a+b）=2+1+$\frac{a}$+$\frac{2a}$$≥3+2\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{2a}$，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b時(shí)取等號(hào)，
故$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值是$3+2\sqrt{2}$．
故答案為：$3+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用直線和圓的位置關(guān)系得到a+b=1是解決本題的關(guān)鍵．