Question

17．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：AB∥平面PCD；
（2）求證：面PBC⊥平面PAC；
（3）求二面角P-BC-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理即可證明．
（2）在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，則四邊形ADCE為矩形，利用矩形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理即可證明BC⊥AC，再利用線面面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明．
（3）由BC⊥平面PAC，可得∠PCA為二面角P-BC-A的平面角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 （1）證明：∵AB∥DC，AB?平面PCD，DC?平面PCD，
∴AB∥平面PCD．
（2）證明：在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，
則四邊形ADCE為矩形，
∴AE=DC=1，
又AB=2，∴BE=1，
在Rt△BEC中，∠ABC=45°．
∴CE=BE=1，CB=$\sqrt{2}$．
∴AD=CE=1，
則AC=$\sqrt{2}$，AC²+BC²=AB²．
∴BC⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
∴面PBC⊥平面PAC．
（Ⅲ）解：∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，BC⊥AC，
∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．
在Rt△PAC中，$AC=\sqrt{2}$，PA=1，
∴$PC=\sqrt{3}$．
∴$sin∠PCA=\frac{PA}{PC}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查了空間位置關(guān)系、空間角、勾股定理與逆定理、矩形的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．