Question

16．設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，其中向量$\overrightarrow a$=（2cosx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，2sinx）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a²+b²-c²≥ab，求f（C）的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、和差公式可得f（x），再利用周期性與單調性即可得出．
（II）利用余弦定理、三角函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
∴$函數(shù)f（x）的最小正周期T=\frac{2π}{2}=π$
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，則$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（k∈z）$．
得f（x）在R上單調遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]（k∈z）．
（Ⅱ）a²+b²-c²≥ab，$cosC≥\frac{1}{2}$，
∴$0＜C≤\frac{π}{3}$，
$由f（C）=2sin（2C+\frac{π}{6}）+1$，$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，$當C=\frac{π}{6}時，f{（C）_{max}}=3$．
當C=$\frac{π}{3}$時，f（C）_min=2，∴f（C）∈[2，3]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質、倍角公式、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．