Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ADC=45°，AD=
AC=1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PB∥平面ACM；
（2）證明：AD⊥平面PAC；
（3）求四面體PACM的體積．

Answer 1

分析 （1）連接MO，由已知可得O為BD的中點(diǎn)，又M為PD的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可得PB∥OM，再由線面平行的判定可得PB∥平面ACM；
（2）在△ADC中，由已知可得∠DAC=90°，即DA⊥AC，又PO⊥平面DAC，得PO⊥AD，由線面垂直的判定可得DA⊥平面PAC；
（3）由M為PD的中點(diǎn)得到M到平面PAC的距離，然后利用等積法求得四面體PACM的體積．

解答 （1）證明：連接MO，∵底面ABCD是平行四邊形，且O為AC的中點(diǎn)，∴O為BD的中點(diǎn)，
又M為PD的中點(diǎn)，∴PB∥OM，
∵PB?平面ACM，OM?平面ACM，∴PB∥平面ACM；
（2）證明：在△ADC中，∵∠ADC=45°，AD=AC，∴∠DAC=90°，即DA⊥AC，
又PO⊥平面DAC，∴PO⊥AD，PO∩AC=O，
∴DA⊥平面PAC；
（3）解：在△PAC中，∵AC=1，PO=2，∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∵AD=1，且M為PD的中點(diǎn)，∴M到平面PAC的距離d=$\frac{1}{2}$．
則${V}_{P-AMC}={V}_{M-PAC}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判斷，考查直線與平面垂直的判定，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．