Question

5．如圖，A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個頂點，過橢圓的右焦點F作x軸的垂線，與其交于點C，若AB∥OC（O為坐標(biāo)原點），則直線AB的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得C（c，$\frac{^{2}}{a}$），A（-a，0），B（0，b），從而得到$\frac{a}=\frac{\frac{^{2}}{a}}{c}$，即b=c，由此能求出直線AB的斜率．

解答 解：∵A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個頂點
過橢圓的右焦點F作x軸的垂線，與其交于點C，AB∥OC（O為坐標(biāo)原點），
∴C（c，$\frac{^{2}}{a}$），A（-a，0），B（0，b），
∴$\frac{a}=\frac{\frac{^{2}}{a}}{c}$，∴bc=b²，∴b=c，
∴a²=b²+c²=2c²，
∴a=$\sqrt{2}c$=$\sqrt{2}b$，
∴直線AB的斜率k=$\frac{a}=\frac{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查直線方程的斜率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．