Question

5．點(diǎn)P（-3，1）在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左準(zhǔn)線（$x=-\frac{a^2}{c}$）上．過點(diǎn)P且方向?yàn)?\overrightarrow a$=（2，-5）的光線，經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{12}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線的方向向量，求得直線PQ的斜率，求得直線PQ的方程，求得與x=-2的交點(diǎn)坐標(biāo)，求得反射直線QF₁的方程，求得F₁坐標(biāo)，求得c的值，根據(jù)$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，求得a的值，由橢圓的離心率公式即可求得e．

解答 解：如圖，過點(diǎn)P（-3，1）的方向 $\overrightarrow a$=（2，-5）
∴直線PQ的斜率為：k_PQ=-$\frac{5}{2}$，
根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式得：l_PQ的方程為y-1=-$\frac{5}{2}$（x+3），
與y=-2的交點(diǎn)為 （-$\frac{9}{5}$，-2）光線經(jīng)過直線y=-2反射后所在的直線方程為y+2=$\frac{5}{2}$（x+$\frac{9}{5}$），與x軸的交點(diǎn)（-1，0）即為橢圓的左焦點(diǎn)
得：c=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，則a=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)、考查直線方程的求法，利用對稱性求解直線方程，屬于中檔題．