Question

10．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與x軸在原點處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為$\frac{1}{12}$，若函數(shù)f（x）在$（{\frac{-1-k}{2}，\frac{-1+k}{2}}）$上單調增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與x軸在原點處相切，建立方程關系即可求出b，結合積分的應用，求出對應區(qū)域的面積，求出a，求出函數(shù)的導數(shù)，解函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系建立不等式進行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的圖象與x軸在原點處相切，
∴f′（0）=0，
∵f′（x）=-3x²+2ax+b，
∴f′（0）=0，得b=0，
∴f（x）=-x³+ax²=-x²（x-a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=a，
可以得到圖象與x軸交點為（0，0），（a，0），（a＜0），
故|f（x）|從a到0求定積分即為所求面積，即∫_-a⁰|f（x）|dx=∫_-a⁰[-f（x）]dx=$\frac{1}{12}$，
即∫_-a⁰（-x³+ax²）dx=（-$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{3}$ax³）|${\;}_{a}^{0}$=$\frac{1}{4}$a⁴-$\frac{1}{3}$a⁴=$\frac{1}{12}$，
即a⁴=1，解得a=-1．
則f（x）=-x³-x²，
函數(shù)的導數(shù)f′（x）=-3x²-2x，
由f′（x）＞0得-$\frac{2}{3}$＜x＜0，即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[-$\frac{2}{3}$，0]，
∵函數(shù)f（x）在$（{\frac{-1-k}{2}，\frac{-1+k}{2}}）$上單調增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1-k}{2}≥-\frac{2}{3}}\\{\frac{-1+k}{2}≤0}\\{\frac{-1-k}{2}＜\frac{-1+k}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k≤\frac{1}{3}}\\{k≤1}\\{k＞0}\end{array}\right.$，即0＜k≤$\frac{1}{3}$，
即k的取值范圍是0＜k≤$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及定積分在求面積中的應用，考查了計算能力和識圖能力，屬于中檔題．