Question

14．某人經(jīng)營一個抽獎游戲，顧客花費(fèi)2元錢可購買一次游戲機(jī)會，每次游戲中，顧客從裝有1個黑球，3個紅球，6個白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3個球（除顏色外其他都相同），根據(jù)摸出的球的顏色情況進(jìn)行兌獎，顧客獲得一等獎、二等獎、三等獎、四等獎時分別可領(lǐng)取獎金a元、10元、5元、1元，若經(jīng)營者將顧客摸出的3個球的顏色情況分成以下類別：A：1個黑球2個紅球；B：3個紅球；C：恰有1個白球；D：恰有2個白球；E：3個白球．且經(jīng)營者計(jì)劃將五種類別按照發(fā)生機(jī)會從小到大的順序分別對應(yīng)中一等獎、中二等獎、中三等獎、中四等獎、不中獎五個層次．
（1）請寫出一至四等獎分別對應(yīng)的類別（寫出字母即可）；
（2）若經(jīng)營者不打算在這個游戲的經(jīng)營中虧本，求a的最大值；
（3）若a=50，當(dāng)顧客摸出的第一個球是紅球時，求他領(lǐng)取的獎金的平均值．

Answer 1

分析 （1）求出一至四等獎的概率，即可寫出分別對應(yīng)的類別；
（2）若經(jīng)營者不打算在這個游戲的經(jīng)營中虧本，求出分布列得到期望，即可求a的最大值；
（3）若a=50，當(dāng)顧客摸出的第一個球是紅球，求出他領(lǐng)取的獎金的期望即可．

解答 解：（Ⅰ）$P（A）=\frac{C_1^1•C_3^2}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{{C_{10}^3}}$；
$P（B）=\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{{C_{10}^3}}$；
$P（C）=\frac{C_6^1（C_1^1C_3^1+C_3^2）}{{C_{10}^3}}=\frac{36}{{C_{10}^3}}$；
$P（D）=\frac{C_6^2（C_1^1+C_3^1）}{{C_{10}^3}}=\frac{60}{{C_{10}^3}}$；
$P（E）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{20}{{C_{10}^3}}$；
∵P（B）＜P（A）＜P（E）＜P（C）＜P（D），
∴中一至四等獎分別對應(yīng)的類別是B，A，E，C．（4分）
（Ⅱ）設(shè)顧客進(jìn)行一次游戲經(jīng)營者可盈利X元，則

X	-（a-2）	-8	-3	1	2
P	$\frac{1}{{C_{10}^3}}$	$\frac{3}{{C_{10}^3}}$	$\frac{20}{{C_{10}^3}}$	$\frac{36}{{C_{10}^3}}$	$\frac{60}{{C_{10}^3}}$

∴$\frac{1}{{C_{10}^3}}$（-a+2-24-60+36+120）≥0．
∴a≤74．即a的最大值為74元．（8分）
（Ⅲ）此時中一等獎的概率${P_1}=\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{1}{C_9^2}$；中二等獎的概率${P_2}=\frac{C_2^1•C_1^1}{C_9^2}=\frac{2}{C_9^2}$；
中三等獎的概率P₃=0；中四等獎的概率${P_4}=\frac{C_6^1（C_2^1+C_2^2）}{C_9^2}=\frac{18}{C_9^2}$；
∴$\frac{1}{C_9^2}$（50×1+10×2+0+1×18）=$\frac{50+38}{36}=\frac{22}{9}$元．
即此時顧客領(lǐng)取的獎金的平均值為$\frac{22}{9}$元．（12分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．