Question

3．已知S_n為正項數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，得S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²①，當(dāng)n≥2，S_n-1=$\frac{1}{4}$（a_n-1+1）²②，兩式相減，得出數(shù)列的遞推公式，再根據(jù)遞推公式去推證數(shù)列的性質(zhì)，求解通項，
（2）根據(jù){b_n}的通項公式可知利用由錯位相減法能夠求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：由a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，
得S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²①，
當(dāng)n≥2，S_n-1=$\frac{1}{4}$（a_n-1+1）²②，
①-②得a_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²-$\frac{1}{4}$（a_n-1+1）²，
化簡整理得出
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
由已知，S_n＞0，所以a_n＞0，a_n+a_n-1≠0，
a_n-a_n-1-2=0，由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列，
在a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1中，令n=1，解得a₁=1，
所以數(shù)列{a_n}的通項a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（2）∵a_n=2n-1，
∴b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$•a_n=（2n-1）•4ⁿ，
∴T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n-1）×4ⁿ，③
4T_n=1×4²+3×4³+5×4⁴+…+（2n-3）×4ⁿ+（2n-1）×4ⁿ⁺¹，④
④-③得得3T_n=-4-2（4²+4³+…+4ⁿ）+（2n-1）×4ⁿ⁺¹=-4+2×$\frac{{4}^{2}（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$+（2n-1）×4ⁿ⁺¹=（2n-$\frac{5}{3}$）×4ⁿ⁺¹+$\frac{20}{3}$
所以T_n=$\frac{1}{9}$[（6n-5））×4ⁿ⁺¹+20]．

點評 本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列前n項和的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯，屬于中檔題