Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

（1）求f（x）最小正周期，函數(shù)取得最小值，最大值的變量x集合．
（2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由二倍角公式化簡(jiǎn)解析式可得f（x）=sin（2x-

π

3

）+

1

2

，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）最小正周期，函數(shù)取得最小值，最大值的變量x集合．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π
∴由2x-

π

3

=2kπ+

π

2

解得：x=kπ+

5π

12

，k∈Z．由2x-

π

3

=2kπ+

3π

2

解得：x=kπ+

11π

12

，k∈Z．
∴可得：當(dāng)x=kπ+

5π

12

，k∈Z時(shí)，f（x）_max=

3

2

；當(dāng)x=kπ+

11π

12

，k∈Z時(shí)，f（x）_min=-

1

2

（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．
故函數(shù)單調(diào)區(qū)間是：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)的周期性及其求法，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．