Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C上的點(diǎn)S（x，y）到點(diǎn)M（1，0）的距離與它到直線x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$．
（1）求曲線C的方程；
（2）若點(diǎn)A（x₁，y₁）與點(diǎn)P（x₂，y₂）在曲線C上，x₁²+x₂²=4且點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱，求三角形△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，建立方程，化簡可得曲線C的方程；
（2）求出直線AB的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求得P到直線AB的距離，弦長AB，運(yùn)用三角形的面積公式可得S_△PAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=|x₁y₂-x₂y₁|，再由A，P滿足橢圓方程，結(jié)合條件x₁²+x₂²=4，計(jì)算即可得到三角形△PAB的面積為定值．

解答 解：（1）∵曲線C上的點(diǎn)S（x，y）到點(diǎn)M（1，0）的距離與它到直線x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}$=$\frac{1}{2}$，
化簡可得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）直線AB的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，即為y₁x-x₁y=0，
可得P（x₂，y₂）到直線AB的距離為d=$\frac{|{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，
|AB|=2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，
則S_△PAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=|x₁y₂-x₂y₁|，
由x₁＞0，x₂＜0，y₁＞0，y₂＞0，y₁²=$\frac{3}{4}$（4-x₁²），y₂²=$\frac{3}{4}$（4-x₂²），
可得y₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$，y₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}$，
則|x₁y₂-x₂y₁|=|x₁|y₂+|x₂|y₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\sqrt{4-{{x}_{2}}^{2}}$|x₁|+$\sqrt{4-{{x}_{1}}^{2}}$|x₂|）
由x₁²+x₂²=4，可得x₁²=4-x₂²，x₂²=4-x₁²，
即有|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁²+x₂²）=2$\sqrt{3}$．
故當(dāng)x₁²+x₂²=4時，三角形△PAB的面積為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查三角形的面積為定值，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．