Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{e}^{x}}$-x+1，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）若對任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，求證：$\frac{2}{{e}^{x}}$-2＜$\frac{1}{2}$x²-x．

Answer 1

分析 （1）a=1時(shí)，求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率k，寫出該點(diǎn)處的切線方程；
（2）由f（x）＜0恒成立，即$\frac{a}{{e}^{x}}$-x+1＜0，分離參數(shù)a＜（x-1）e^x，構(gòu)造輔助函數(shù)，g（x）=（x-1）e^x，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得a的取值范圍；
（3）構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=$\frac{2}{{e}^{x}}$-2-$\frac{1}{2}$x²+x，求導(dǎo)，由（2）可得h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，可知h（x）＜0，即可證明$\frac{2}{{e}^{x}}$-2＜$\frac{1}{2}$x²-x．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=$\frac{a}{{e}^{x}}$-x+1，a∈R．當(dāng)a=1時(shí)，
∴f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-x+1，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{e}^{x}}$-1，
f（0）=0，k=f′（0）=-2，
曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；2x+y-2=0；
（2）由f（x）＜0可得：$\frac{a}{{e}^{x}}$-x+1＜0，
∴a＜（x-1）e^x，
令g（x）=（x-1）e^x，g′（x）=xe^x＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）＞-1，
所以a≤-1，
證明：（3）令h（x）=$\frac{2}{{e}^{x}}$-2-$\frac{1}{2}$x²+x．
h′（x）=-$\frac{2}{{e}^{x}}$-x+1，
由（2）可知，當(dāng)a=-2時(shí)，f（2）=-$\frac{2}{{e}^{x}}$-x+1＜0，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，
所以$\frac{2}{{e}^{x}}$-2＜$\frac{1}{2}$x²-x．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，不等式恒成立問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．