3．已知a，b，c均為正數(shù)，且a+2b+3c=9．求證：$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$≥$\frac{1}{9}$．

分析 由a，b，c均為正數(shù)，運(yùn)用柯西不等式可得（a+2b+3c）（$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$）≥（$\sqrt{a•\frac{1}{4a}}$+$\sqrt{2b•\frac{1}{18b}}$+$\sqrt{3c•\frac{1}{108c}}$）2，
化簡(jiǎn)整理，結(jié)合條件即可得證．

解答 證明：由a，b，c均為正數(shù)，運(yùn)用柯西不等式可得：
（a+2b+3c）（$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$）≥（$\sqrt{a•\frac{1}{4a}}$+$\sqrt{2b•\frac{1}{18b}}$+$\sqrt{3c•\frac{1}{108c}}$）2
=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）2=1，
由a+2b+3c=9，可得$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$≥$\frac{1}{9}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=3b=9c，即a=$\frac{9}{2}$，b=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用柯西不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．設(shè)x，y，z為整數(shù)，且x2+y2+z2=3，證明：
（1）xy+yz+zx≤3；
（2）$\frac{{z}^{2}}{xy}$+$\frac{{x}^{2}}{yz}$+$\frac{{y}^{2}}{zx}$≥3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

14．已知復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=ai+1，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限（其中i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a的取值可以為（　�。�
A．0B．1C．-1D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），若$\frac{h（x）-g（x）}{{x-{x_0}}}$＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”．當(dāng)a=4時(shí)，試問(wèn)y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．對(duì)于函數(shù)f1（x），f2（x），h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么稱h（x）為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)．
（Ⅰ）給出一組函數(shù)：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1，則h（x）是否為f1（x），f2（x）的生成函數(shù)？并說(shuō)明理由．
（Ⅱ）設(shè)f1（x）=x（x＞0），f2（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），取a＞0，b＞0，生成函數(shù)h（x）圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）．若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x1，x2且x1+x2=1．試問(wèn)是否存在最大的常數(shù)m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出這個(gè)m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．在數(shù)列{an}中，若a1，a2是正整數(shù)，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，則稱{an}為“D-數(shù)列”．
（1）舉出一個(gè)前五項(xiàng)均不為零的“D-數(shù)列”（只要求依次寫出該數(shù)列的前五項(xiàng)）；
（2）若“D-數(shù)列”{an}中，a1=3，a2=0，數(shù)列{bn}滿足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并分別判斷當(dāng)n→∞時(shí)，an與bn的極限是否存在，如果存在，求出其極限值（若不存在不需要交代理由）；
（3）證明：設(shè)“D-數(shù)列”{an}中的最大項(xiàng)為M，證明：a1=M或a2=M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

15．函數(shù)y=ex•sin2x的導(dǎo)數(shù)為（　�。�
A．ex•sin2x+ex•cos2xB．ex•sin2x+2ex•cos2x
C．ex•sin2x-ex•cos2xD．ex•sin2x-2ex•cos2x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

12．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB斜傾角分別為α，β，則|tanα-tanβ|的最小值為1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

13．若直線y=kx+2與橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1相切，則斜率k的值是（　　）
A．$\frac{\sqrt{6}}{3}$B．-$\frac{\sqrt{6}}{3}$C．$±\frac{\sqrt{6}}{3}$D．$±\frac{\sqrt{3}}{3}$

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