Question

【題目】試比較3－與（n為正整數(shù)）的大小，并予以證明．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

利用作差法可得3－－＝，確定3－與的大小關(guān)系等價(jià)于比較與2n＋1的大小，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

證明：3－－＝，

于是確定3－與的大小關(guān)系等價(jià)于比較與2n＋1的大小．

由2＜2×1＋1，＜2×2＋1，＞2×3＋1，＞2×4＋1，＞2×5＋1，

可猜想當(dāng)n≥3時(shí)，＞2n＋1，

證明如下：

ⅰ當(dāng)n＝3時(shí)，由上可知顯然成立．

ⅱ假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，＞2k＋1成立．

那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

＝2×＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，

所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立，

綜合ⅰ和ⅱ，對(duì)一切n≥3的正整數(shù)，都有＞2n＋1．

所以當(dāng)n＝1，2時(shí)，3－＜；

當(dāng)n≥3時(shí)，3－＞（n為正整數(shù)）．