Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊）．
（1）試猜想并證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

2

an

+

2

-1，求證：數(shù)列{b_n}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可猜想并證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：（1）在數(shù)列{a_n}中，∵a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），
∴a₁=1=

2

2

，
a₂=

2a1

2+a1

=

2

2+1

，
a₃=

2a2

2+a2

=

2

3+1

，
a₄=

2a3

2+a3

=

2

4+1

，
a₅=

2a4

2+a4

=

2

5+1

，…，
∴可以猜想，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n=

2

n+1

．
證明：∵a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），
∴2a_n+1+a_n+1•a_n=2a_n（n∈N₊），
∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2

（n∈N₊），
∴{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an

=1+

1

2

（n-1），
∴a_n=

2

n+1

．
（2）由（1）得b_n=

2

an

+

2

-1=n+

2

．
假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項(xiàng)b_p，b_q，b_r（p，q，r是互不相等正整數(shù)）成等比數(shù)列，則

b

2 q

=b_pb_r，
即 （q+

2

）²=（p+

2

）（r+

2

），
∴（q²-pr）+（2q-p-r）

2

=0．
∵p，q，r∈N^*，∴

q2-pr=0 2q-p-r=0.

∴（

p+r

2

）²=pr，（p-r）²=0，∴p=r，與p≠r矛盾．
∴數(shù)列{b_n}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用數(shù)列的遞推關(guān)系以及等比數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．