Question

5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2bsin（C+$\frac{π}{6}$）=a+c．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若點M為BC中點，且AM=AC=2，求a的值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理將邊化角，根據(jù)sinA=sin（B+C）進行化簡，即可得出解出cosB，得到B的值；
（II）分別在△ABC和△ABM中使用余弦定理，聯(lián)立方程組解出a．

解答 解：（I）∵2bsin（C+$\frac{π}{6}$）=a+c，
∴b（$\sqrt{3}$sinC+cosC）=a+c，即$\sqrt{3}$bsinC+bcosC=a+c，
∴$\sqrt{3}$sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC
∴$\sqrt{3}$sinBsinC=cosBsinC+sinC，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，
兩邊平方得：3sin²B=cos²B+1+2cosB，
∴2cos²B+cosB-1=0，
解得cosB=$\frac{1}{2}$或-1，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）BM=CM=$\frac{a}{2}$，
在△ABC中，由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{2ac}=\frac{1}{2}$，∴a²+c²-4=ac，
在△ABM中，由余弦定理得：cosB=$\frac{B{M}^{2}+A{B}^{2}-A{M}^{2}}{2BM•AB}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-4}{ac}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-4=\frac{1}{2}ac$．
∴聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}-4=ac}\\{\frac{{a}^{2}}{4}+{c}^{2}-4=\frac{ac}{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．