Question

13．在等差數(shù)列{a_n}中，已知d=2，a₃是a₂與a₅的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+1}{2}$，記T_n=-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿb_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₃是a₂與a₅的等比中項，d=2，可得$（{a}_{1}+4）^{2}$=（a₁+2）（a₁+8），解得a₁，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出a_n．
（2）由 （1）知：a_n=2n-2，b_n=2n²-4n+$\frac{5}{2}$，b_n-b_n-1=4n-6．對n分類討論，即可得出．

解答 解：（1）∵a₃是a₂與a₅的等比中項，∴${a}_{3}^{2}$=a₂•a₅，
∴$（{a}_{1}+4）^{2}$=（a₁+2）（a₁+8），解得a₁=0，
∴a_n=2（n-1）=2n-2．
（2）由 （1）知：a_n=2n-2，b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+1}{2}$=$\frac{（2n-2）^{2}+1}{2}$=2n²-4n+$\frac{5}{2}$，b_n-b_n-1=4n-6．
①當(dāng)n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時：T_n=（b₂-b₁）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=（4×2-6）+（4×4-6）+…+（4n-6）
=$\frac{\frac{n}{2}（2+4n-6）}{2}$=n（n-1）．
②當(dāng)n=2k-1為奇數(shù)時：
T_n=T_n+1-b_n+1=（n+1）n-$[2（n+1）^{2}-4（n+1）+\frac{5}{2}]$=$\frac{-2{n}^{2}+2n-1}{2}$．
綜上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{n（n-1），n為偶數(shù)}\\{\frac{-2{n}^{2}+2n-1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．