Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x-a在[-1，2]上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是-$\frac{5}{3}$≤a≤$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出f（x）在[-1，2]上的最大、最小值，利用函數(shù)零點的定義，即可求出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x-a，
∴f′（x）=x²+2x-3，
令f′（x）=0，解得x=-3或x=1；
當(dāng)x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，2）時，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）在x=1時取得極小值f（1）=-$\frac{5}{3}$-a；
又f（-1）=$\frac{11}{3}$-a，f（2）=$\frac{2}{3}$-a，
∴f（x）在[-1，2]上的最大值為$\frac{11}{3}$-a，最小值為-$\frac{5}{3}$-a；
又函數(shù)f（x）在[-1，2]上有零點，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{11}{3}-a≥0}\\{-\frac{5}{3}-a≤0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{3}$≤a≤$\frac{11}{3}$．
故答案為：-$\frac{5}{3}$≤a≤$\frac{11}{3}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與求函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值問題，也考查了函數(shù)零點的應(yīng)用問題，是綜合性題目．