Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時(shí)，有（f（a）+f（b））÷（a+b）＞0成立．判斷d（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意先判斷，再令a=x₁，b=-x₂，a+b=x₁-x₂＜0；從而可得（f（x₁）+f（-x₂））÷（x₁-x₂）＞0，再由f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)可得（f（x₁）-f（x₂））÷（x₁-x₂）＞0，從而證明．

解答： 解：f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，證明如下，
任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
令a=x₁，b=-x₂，a+b=x₁-x₂＜0；
則（f（x₁）+f（-x₂））÷（x₁-x₂）＞0，
又∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（-x₂）=-f（x₂）；
∴（f（x₁）-f（x₂））÷（x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
故f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．