Question

12．如圖，在三棱錐A-BCD中，三條棱AB、BC、CD兩兩垂直，且AD與平面BCD成45°角，與平面ABC成30°角．
（1）由該棱錐相鄰的兩個(gè)面組成的二面角中，指出所有的直二面角；
（2）求AC與平面ABD所成角的大小；
（3）求二面角B-AD-C大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ABD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABC，由此能求出所有的直二面角．
（2）設(shè)CD=1，推導(dǎo)出∠ADB=45°，∠DAC=30°，AD=2，BD=AB=$\sqrt{2}$，BC=1，以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AC與平面ABD所成角的大�。�
（3）求出平面ACD的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角B-AD-C大小的余弦值．

解答 解：（1）∵AB⊥BC，AB⊥CD，又BC∩CD=C，
∴AB⊥平面BCD，
∵AB?平面ABC，AB?ABD，
∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC⊥平面BCD，
∵CD⊥AB，CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC，
綜上，直二面角有A-BC-D、A-BD-C、B-AC-D．
（2）設(shè)CD=1，∵AD與平面BCD成45°角，與平面ABC成30°角，
∴∠ADB=45°，∠DAC=30°，
∴AD=2，BD=AB=$\sqrt{2}$，BC=1，
以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（0，1，0），A（0，1，$\sqrt{2}$），C（0，0，0），D（1，0，0），
$\overrightarrow{AB}$=（0，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（0，1，$\sqrt{2}$），
設(shè)平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=x-y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
設(shè)AC與平面ABD所成角為α，
則sinα=|cos＜$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴AC與平面ABD所成角的大小為arcsin$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（3）設(shè)平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=b+\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=a-b-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{m}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），
由（2）得平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
設(shè)二面角B-AD-C大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角B-AD-C大小的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直二面角的判斷，考查線面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．