8．已知a＞2，用放縮法證明不等式：loga（a-1）•loga（a+1）＜1．

分析 由a＞2可得，loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，運(yùn)用均值不等式可得loga（a-1）•loga（a+1）＜
（$\frac{lo{g}_{a}（a-1）+lo{g}_{a}（a+1）}{2}$）2，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和單調(diào)性，即可得證．

解答 證明：由a＞2，可得loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，
即有l(wèi)oga（a-1）•loga（a+1）＜（$\frac{lo{g}_{a}（a-1）+lo{g}_{a}（a+1）}{2}$）2
=（$\frac{lo{g}_{a}（{a}^{2}-1）}{2}$）2＜（$\frac{lo{g}_{a}{a}^{2}}{2}$）2=1．
即有l(wèi)oga（a-1）•loga（a+1）＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用均值不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的放縮法，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，則不等式f（t-1）+f（t）＜0的解集為（　�。�
A．（0，1）B．（0，$\frac{1}{2}$]C．（0，$\frac{1}{2}$）D．（$\frac{1}{2}$，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．定義運(yùn)算$|{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}$|=ad-bc，如果（x+y）+（x+3）i=$|{\begin{array}{l}{3x+2y}&i\\{-y}&1\end{array}}|$，x，y∈R，求z=y-xi．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．已知直線l：x-y=1與圓Γ：x2+y2-2x+2y-1=0相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B，D分別在圓Γ上運(yùn)動(dòng)，且位于直線l的兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為（　　）
A．$\sqrt{30}$B．$2\sqrt{30}$C．$\sqrt{51}$D．$2\sqrt{51}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．若存在x∈R，使得a3x-4≥${2^{{x^2}-x}}$（a＞0且a≠1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥2或0＜a$≤\root{9}{2}$且a≠1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．已知直線l：mx-y=1，若直線l與直線x+m（m-1）y=2垂直，則m的值為0或2，動(dòng)直線l被圓C：x2-2x+y2-8=0截得的最短弦長為2$\sqrt{7}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=2n-1，n∈A}，則A∩B=（　�。�
A．{1，3}B．{2，4}C．{1，4}D．{2，3}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)α，使sinα•cosα=1；
②若函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ+$\frac{π}{4}}$）為偶函數(shù)，則φ=-$\frac{π}{4}$-kπ，k∈Z；
③x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5π}{4}}$）的一條對(duì)稱軸方程；
④若α，β是第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ；
⑤過點(diǎn)P（-1，6）且與圓（x+3）2+（y-2）2=4相切的直線方程是3x-4y-27=0；
⑥過原點(diǎn)O作圓x2+y2-8x=0的弦OA，則弦OA的中點(diǎn)N的軌跡方程為x2+y2-4x=0，
其中正確的命題是②③．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．已知a、b、c為正數(shù)，求證：$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$．

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同步練習(xí)冊(cè)答案