Question

13．已知直線l：mx-y=1，若直線l與直線x+m（m-1）y=2垂直，則m的值為0或2，動直線l被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦長為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由直線l：mx-y=1與直線x+m（m-1）y=2垂直的性質(zhì)能求出m；求出圓C：x²-2x+y²-8=0的圓心、半徑，由直線l：mx-y=1過定點P（0，-1），當直線l與定點P（0，-1）與圓心C（1，0）的連線垂直時，直線l被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的弦長最短，由此能求出動直線l被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦長．

解答 解：∵直線l：mx-y=1與直線x+m（m-1）y=2垂直，
∴m×1+（-1）×m（m-1）=0，
解得m=0或m=2．
圓C：x²-2x+y²-8=0的圓心C（1，0），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+32}$=3，
直線l：mx-y=1過定點P（0，-1），
當直線l與定點P（0，-1）與圓心C（1，0）的連線垂直時，
直線l被圓C：x²-2x+y²-8=0截得的弦長最短，
∵|PC|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴最短弦長為：2$\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案為：0或2，2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查弦長的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線垂直的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式的合理運用．