Question

18．已知函數f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的奇函數，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，則不等式f（t-1）+f（t）＜0的解集為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 利用函數的奇偶性的性質，結合f（0）=0，求出a，利用條件求出b的值，判斷函數的單調性，利用函數單調性和奇偶性的性質將不等式進行轉化進行求解即可．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的奇函數，
∴f（0）=b=0，則f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$=$\frac{ax}{1+{x}^{2}}$，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}a}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{5}{4}}$=$\frac{2a}{5}$=$\frac{2}{5}$，
則a=1，
則f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∵f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，
∴當0＜x＜1時，y=x+$\frac{1}{x}$為減函數，則f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$為增函數，
即f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$在（-1，1）上是增函數，
由（t-1）+f（t）＜0得（t-1）＜-f（t）=f（-t），
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t-1＜1}\\{-1＜t＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{0＜t＜2}\\{-1＜t＜1}\\{t＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得0＜t＜$\frac{1}{2}$，
即不等式的解集為（0，$\frac{1}{2}$），
故選：C

點評 本題主要考查不等式的求解，根據函數奇偶性的性質求出是f（x）的解析式，并判斷函數的單調性是解決本題的關鍵．綜合性較強．