Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，-2≤x≤-1}\\{ln（x+2），-1＜x≤2}\end{array}\right.$，若g（x）=f（x）-a（x+2）的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e-1}$）
• B． （0，$\frac{1}{3e}$）
• C． [$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{2ln2}{3}$，$\frac{1}{3e}$）

Answer 1

分析 g（x）的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)可化為y=f（x）與y=a（x+2）有3個(gè)不同交點(diǎn)，從而作圖求解．

解答 解：∵g（x）的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴y=f（x）與y=a（x+2）有3個(gè)不同交點(diǎn)，
作y=f（x）與y=a（x+2）的圖象如下，
易知直線(xiàn)y=a（x+2）過(guò)定點(diǎn)A（-2，0），斜率為a．
當(dāng)直線(xiàn)y=a（x+2）與y=ln（x+2）相切時(shí)是一個(gè)臨界狀態(tài)，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{a=y′=\frac{1}{{x}_{0}+2}}\\{a（{x}_{0}+2）=ln（{x}_{0}+2）}\end{array}\right.$，
解得，x₀=e-2，a=$\frac{1}{e}$，
又函數(shù)過(guò)點(diǎn)B（2，ln4），
k_AB=$\frac{ln4}{2-（-2）}$=$\frac{ln2}{2}$，
故$\frac{ln2}{2}$≤a＜$\frac{1}{e}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，注意臨界狀態(tài)的確定．