Question

19．某工廠要設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的集裝箱，其容積為96m³，高度為6m．已知集裝箱6個(gè)面每1m²的造價(jià)均為100元，設(shè)集裝箱底面一條邊的長(zhǎng)為xm．
（1）求集裝箱總造價(jià)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）怎樣設(shè)計(jì)集裝箱能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少元？

Answer 1

分析 （1）由題意可得底面的另一邊長(zhǎng)為$\frac{96}{6x}$=$\frac{16}{x}$m，運(yùn)用長(zhǎng)方體的表面積公式，結(jié)合條件即可得到函數(shù)的解析式，注意x＞0；
（2）運(yùn)用基本不等式可得x+$\frac{16}{x}$的最小值，進(jìn)而得到所求最低造價(jià)．

解答 解：（1）由題意可得底面的另一邊長(zhǎng)為$\frac{96}{6x}$=$\frac{16}{x}$m，
集裝箱總造價(jià)y=100（12x+32+$\frac{192}{x}$）=1200（x+$\frac{16}{x}$）+3200（x＞0）；
（2）由x+$\frac{16}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{16}{x}}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{16}{x}$，即x=4時(shí)，取得等號(hào)，
可得y≥1200×8+3200=12800，
即有集裝箱底面為邊長(zhǎng)為4m的正方形時(shí)，
總造價(jià)最低，且為12800元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式在最值問(wèn)題中的運(yùn)用，考查函數(shù)的解析式和最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．