Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點為M，右焦點為F，過F的直線l與雙曲線交于A，B兩點，且滿足：$\overrightarrow{MA}$$+\overrightarrow{MB}$=2$\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，則該雙曲線的離心率是2．

Answer 1

分析 由中點的向量表示形式可得F為AB的中點，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0可得MA⊥MB，由△ABM為等腰直角三角形，可得tan45°=$\frac{AF}{MF}$，即有b²=a（c+a），由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{MA}$$+\overrightarrow{MB}$=2$\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0可得：
F為AB的中點，MA⊥MB，
由雙曲線的對稱性，可得AB⊥x軸，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
由△ABM為等腰直角三角形，可得：
tan45°=$\frac{AF}{MF}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c+a}$=1，
即有b²=a（c+a），
即（c-a）（c+a）=a（c+a），
可得c-a=a，即c=2a，
即有e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用平面向量共線定理和向量垂直的條件，考查等腰三角形的性質，屬于中檔題．