Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+1}{e^x}$，（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=xf'（x），其中f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$（1-x-xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1-x-xlnx，確定當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≤h（e^-2）=1+e^-2．當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，0＜$\frac{1}{{e}^{x}}$＜1，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）求導(dǎo)數(shù)得f′（x）=$\frac{1}{x{e}^{x}}$（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），
令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0．
又e^x＞0，
所以x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；
x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
證明：（2）因?yàn)間（x）=xf′（x）．
所以g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$（1-x-xlnx），x∈（0，+∞）．
由h（x）=1-x-xlnx，
求導(dǎo)得h′（x）=-lnx-2=-（lnx-lne^-2），
所以當(dāng)x∈（0，e^-2）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（e^-2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≤h（e^-2）=1+e^-2．
又當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，0＜$\frac{1}{{e}^{x}}$＜1，
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，$\frac{1}{{e}^{x}}$h（x）＜1+e^-2，即g（x）＜1+e^-2．
綜上所述，對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是靈活利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行運(yùn)算及理解導(dǎo)數(shù)與要解決問題的聯(lián)系，此類題運(yùn)算量大，易出錯(cuò)，且考查了轉(zhuǎn)化的思想，判斷推理的能力，綜合性強(qiáng)，是高考�？碱}型，學(xué)習(xí)時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，注意總結(jié)其解題規(guī)律．