如圖，AC 是圓 O 的直徑，點 B 在圓 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于點 M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C//EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1．

（I）證明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值．

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）先以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，并以此確定、、、四點的坐標(biāo)，通過驗證來達到證明的目的；（Ⅱ）求出平面與平面各自的法向量，利用空間向量法求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.
試題解析：（1），．
如圖，以為坐標(biāo)原點，垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．由已知條件得，，，，，

．
由，
得， ．  
（2）由（1）知，．
設(shè)平面的法向量為，
由，得，
令得，，，[來源:學(xué)+科+網(wǎng)]
由已知平面，所以取面的法向量為，
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，
則，
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為． 
考點：直線與直線的垂直、二面角、空間向量法

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓周上的一點．

（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；(6分)
（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．（6分）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，幾何體中，四邊形為菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，為的中點，為的中點.

（1）求幾何體的體積；
（2）求證：為等腰直角三角形；
（3）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，，．

（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中，，，為的中點，分別在線段上，且交于，把沿折起，如下圖所示，

（1）求證：平面；
（2）當(dāng)二面角為直二面角時，是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在求的長，若不存在說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面，為中點．

（1）求證：平面；
（2）若，求證：平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現(xiàn)將沿折起到的位置（如圖（2））．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，直線與平面所成的角為，求長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱(即側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)中，

（I）若為的中點，求證：平面平面；
（II）若為線段上一點，且二面角的大小為，試確定的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在長方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長均為1；側(cè)棱，為中點，為中點，為上一個動點.

（Ⅰ）確定點的位置，使得；
（Ⅱ）當(dāng)時，求二面角的平面角余弦值.

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