Question

9．已知函數(shù)f（x）=4x³-ax+1存在n（n∈N）個(gè)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合記為A（n），則（　�。�

• A． A（0）=（-∞，3]
• B． A（1）={2}
• C． A（2）=（3，+∞）
• D． A（3）=（3，+∞）

Answer 1

分析 令f（x）=0得出a=4x²+$\frac{1}{x}$，令h（x）=4x²+$\frac{1}{x}$，判斷h（x）的單調(diào)性，作出h（x）的函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象判斷方程h（x）=a的解的個(gè)數(shù)，從而得出A（n）．

解答 解：令f（x）=0得a=4x²+$\frac{1}{x}$，
∴當(dāng)f（x）有n個(gè)零點(diǎn)時(shí)，方程a=4x²+$\frac{1}{x}$有n個(gè)不同的解．
設(shè)h（x）=4x²+$\frac{1}{x}$，則h′（x）=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{8{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x＜0或0$＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，h′（x）＜0．
作出h（x）=4x²+$\frac{1}{x}$的大致函數(shù)圖象如下：

由圖象可知當(dāng)a＜3時(shí)，h（x）=a只有一解，
當(dāng)a=3時(shí)，h（x）=a有兩解，
當(dāng)a＞3時(shí)，h（x）=a有三解．
∴A（0）=∅，A（1）=（-∞，3），A（2）={3}，A（3）=（3，+∞）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．