Question

13．已知函數f（x）的定義域[-1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示．

x	-1	0	2	4	5
y	1	2	0	2	1

（1）方程f[f（x）]=0的不等實根的個數為2；
（2）方程f[f（x）]-a=0，a∈[-1，2]的不等實根的個數構成的集合為{1，2，4}．

Answer 1

分析 （1）由導數圖象可知導函數的符號，從而可判斷函數的單調性，得函數的極值，方程f[f（x）]=0，則f（x）=2，可得結論；
（2）分類討論，結合函數值的范圍，可得結論．

解答 解：（1）由導數圖象可知，當-1＜x＜0或2＜x＜4時，f'（x）＞0，函數單調遞增，
當0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函數單調遞減，
所以當x=0和x=4時，函數取得極大值f（0）=2，f（4）=2，
當x=2時，函數取得極小值f（2）=0．
方程f[f（x）]=0，則f（x）=2，∴x=0或4；
（2）由（1），a=0時，不等實根的個數為2；
0＜a＜2時，不等實根的個數為4；
a=2時，f（x）=0或4，不等實根的個數為1，
∴方程f[f（x）]-a=0，a∈[-1，2]的不等實根的個數構成的集合為{1，2，4}．
故答案為：2：{1，2，4}．

點評 本題考查導數知識的運用，考查導函數與原函數圖象之間的關系，正確運用導函數圖象是關鍵．