Question

15．如圖，在△ABC中，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$，點(diǎn)D在BC邊上．
（ I）若D為BC邊中點(diǎn)，求證：$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）
（ II）若$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow a$+μ$\overrightarrow b$，求證：λ+μ=1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圖形，可以得到$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，從而$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$，根據(jù)$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$即可得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$；
（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)D在BC邊上，便可得出存在t使得$\overrightarrow{BD}=t\overrightarrow{BC}=t（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$，進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算即可求出$\overrightarrow{AD}=（1-t）\overrightarrow{a}+t\overrightarrow$，根據(jù)平面向量基本定理即可得出$\left\{\begin{array}{l}{λ=1-t}\\{μ=t}\end{array}\right.$，從而得出λ+μ=1．

解答 證明：（I）∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$；
∴$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\overrightarrow a$；
又D為BC邊中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow b-\overrightarrow a）$；
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{a+}\frac{1}{2}（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=\frac{1}{2}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$；
（II）∵點(diǎn)D在BC邊上，∴$\overrightarrow{BD}∥\overrightarrow{BC}$；
則存在實(shí)數(shù)t，使得$\overrightarrow{BD}=t\overrightarrow{BC}=t（\overrightarrow b-\overrightarrow a）$，
則$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow a+t（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=（1-t）\overrightarrow a+t\overrightarrow b$；
若$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow a+μ\overrightarrow b$，則λ=1-t，μ=t；
∴λ+μ=（1-t）+t=1．

點(diǎn)評 考查向量減法、減法及數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，共線向量和平面向量基本定理．