Question

5．已知命題p：實數(shù)m使函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（m-1）x²-4mx+1在[1，3]上不單調(diào)，命題q：實數(shù)m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示橢圓．
（1）若p∧q為真，求m的取值范圍；
（2）若p∨q為真，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真時的m的范圍，（1）根據(jù)p∧q為真，取交集即可；（2）根據(jù)p∨q為真，取并集即可．

解答 解：命題p：實數(shù)m使函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（m-1）x²-4mx+1，
f′（x）=x²-2（m-1）x-4m=0，解得：x₁=-2，x₂=2m，
∵f（x）在[1，3]不單調(diào)，
∴1＜2m＜3，
∴m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
命題q：實數(shù)m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示橢圓．
$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{2-m＞0}\\{m-1≠2-m}\end{array}\right.$⇒m∈（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2），
（1）若p∧q為真，m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）且m∈（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2），
則m∈（1，$\frac{3}{2}$）；
（2）若p∨q為真，m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）或m∈（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2），
則m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，2）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性以及橢圓的定義，考查復合命題的判斷，是一道中檔題．