Question

(本小題滿分12分)已知二次曲線Ck的方程：.

（Ⅰ）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；

（Ⅱ）若雙曲線Ck與直線y＝x＋1有公共點且實軸最長，求雙曲線方程

 

Answer 1

（Ⅰ）即k<4時，方程表示橢圓． 當即4<k<9時，方程表示雙曲線（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）橢圓雙曲線標準方程的特點（2）解決直線和橢圓的問題時注意：第一步：根據(jù)題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式.第四步：根據(jù)題設條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）當且僅當，即k<4時，方程表示橢圓．

當且僅當(9－k)(4－k)<0，即4<k<9時，方程表示雙曲線．

（Ⅱ）解法一：由化簡得，(13－2k)x2＋2(9－k)x＋(9－k)(k－3)＝0∵Δ≥0，∴k≥6或k≤4(舍)

∵雙曲線實軸最長，∴k取最小值6時，9－k最大即雙曲線實軸最長，此時雙曲線方程

為.

解法二：若Ck表示雙曲線，則k∈(4,9)，不妨設雙曲線方程為，

聯(lián)立消去y得，(5－2a2)x2－2a2x－6a2＋a4＝0∵Ck與直線y＝x＋1有公共點，∴Δ＝4a4－4(5－2a2)(a4－6a2)≥0，即a4－8a2＋15≥0，∴a2≤3或a2≥5(舍)，∵雙曲線實軸最長，應取3，

此時雙曲線方程為

考點：橢圓雙曲線標準方程的特點，求雙曲線方程