Question

12．某河道中過度滋長一種藻類，環(huán)保部門決定投入生物凈化劑凈化水體．因技術(shù)原因，第t分鐘內(nèi)投放凈化劑的路徑長度p=140-|t-40|（單位：m），凈化劑凈化水體的寬度q（單位：m）是時間t（單位：分鐘）的函數(shù)：q（t）=1+a²t（a由單位時間投放的凈化劑數(shù)量確定，設(shè)a為常數(shù)，且a∈N^*）．
（1）試寫出投放凈化劑的第t分鐘內(nèi)凈化水體面積S（t）（1≤t≤60，t∈N^*）的表達(dá)式；
（2）求S（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出分段函數(shù)的解析式．
（2）利用分段函數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合基本不等式求解函數(shù)的最值．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）由題意，S（t）=p（t） q（t）=（140-|t-40|）（1+$\frac{{a}^{2}}{t}$）=$\left\{\begin{array}{l}{100+{a}^{2}+t+\frac{100{a}^{2}}{t}，1≤t＜40，t∈{N}^{•}}\\{180-{a}^{2}-t+\frac{180{a}^{2}}{t}，40≤t≤60，t∈{N}^{•}}\end{array}\right.$
（2）當(dāng)40≤t≤60且t∈N^*時，S（t）=180-a²-t+$\frac{180{a}^{2}}{t}$，當(dāng)t增加時$\frac{180{a}^{2}}{t}$減少，
所以S（t）在40≤t≤60時單調(diào)遞減；當(dāng)t=60時，S（t）有最小值2a²+120．
當(dāng)1≤t＜40且t∈N^*時，S（t）=100+a²+t+$\frac{180{a}^{2}}{t}$≥100+a²+20a；
①若a=1或2或3時；當(dāng)t=10a時，上述不等式中的等號成立，
S（t）在1≤t＜40范圍中有最小值a²+2a+100．
又在40≤t≤60時S（t）有最小值2a²+120．
當(dāng)a=1時，100+a²+20a=121＜122=2a²+120，故S（t）有最小值121；
當(dāng)a=2或a=3時，100+a²+20a＞2a²+120，故S（t）有最小值2a²+120．
②若a≥4且1≤t＜40時，因為1+$\frac{100{a}^{2}}{t+1}$-$\frac{100{a}^{2}}{t}$=1-$\frac{100{a}^{2}}{t（t-1）}$≤0，
所以S（t+1）=100+a²+t+1+$\frac{100{a}^{2}}{t+1}$≤S（t）=100+a²+t+$\frac{100{a}^{2}}{t}$，
故S（t）在1≤t≤40中單調(diào)遞減；又S（t）在40≤t≤60時單調(diào)遞減，
所以S（t）在1≤t≤60時單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)t=60時，S（t）有最小值2a²+120．
綜上，若a=1，當(dāng)t=10時，S（t）有最小值121；即第10天的銷售額最少，為121千元．
若a≥4且a∈N^*，當(dāng)t=60時，S（t）有最小值2a²+120．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的解析式的應(yīng)用，考查實際問題的解法，是中檔題．