Question

已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx，其中a>0，b>0.

(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x) 在它們的交點P(2，c)處有相同的切線(P為切點)，求實數(shù)a，b的值；

(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函數(shù)h(x)的單調(diào)減區(qū)間為.

①求函數(shù)h(x)在區(qū)間(－∞，－1]上的最大值M(a)；

②若|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a＝，b＝5

（2）①M(a)＝

②

【解析】【解析】
(1)由P(2，c)為公共切點，

f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx(a>0)，

得f′(x)＝2ax，k1＝4a，

g′(x)＝3x2＋b，k2＝12＋b.

又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，

所以，解得a＝，b＝5.

(2)①h(x)＝f(x)＋g(x)

＝x3＋ax2＋bx＋1，

則h′(x)＝3x2＋2ax＋b.

因為函數(shù)f(x)＋g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，

所以x∈時，有3x2＋2ax＋b≤0恒成立．

此時x＝－是方程3x2＋2ax＋b＝0的一個根，

所以32＋2a＋b＝0，

得a2＝4b，

所以h(x)＝f(x)＋g(x)

＝x3＋ax2＋a2x＋1.

又函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

若－1≤－，即a≤2時，

最大值為h(－1)＝a－；

若－<－1<－時，即2<a<6時，

最大值為h＝1；

若－1≥－時，即a≥6時，

最大值為h＝1，

綜上所述，M(a)＝

②由①可知h(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以h為極大值，h＝1，

h為極小值，h＝－＋1，

因為|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，

又h(0)＝1，所以

即

解得

故實數(shù)a的取值范圍是.