分析 (1)由已知可得a=2,離心率e=ca=√4−b22=√32,解得得b2.進(jìn)而定點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn),可得p.
(2)設(shè)線段MN中點(diǎn)A(x0,y0),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率的計(jì)算公式可得:kMN=x02.可得直線l的方程為y−2=−2x0(x−x0),直線l過(guò)定點(diǎn)B(0,4).與拋物線方程聯(lián)立,再利用弦長(zhǎng)公式、根與系數(shù)的關(guān)系可得|MN|,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)B到MN的距離d,利用三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答 解:(1)已知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a=2,半焦距c=√4−b2,由離心率e=ca=√4−b22=√32,得b2=1.
∴橢圓的上頂點(diǎn)為(0,1),即拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),
∴p=2,拋物線的方程為x2=4y.
(2)設(shè)線段MN中點(diǎn)A(x0,y0),則x0=x1+x22,y0=y1+y22,kMN=y2−y1x2−x1=x224−x214x2−x1=14(x1+x2)=x02,
∴直線l的方程為y−2=−2x0(x−x0),即2x+x0(-4+y)=0,∴l(xiāng)過(guò)定點(diǎn)B(0,4).
聯(lián)立{y−2=x02(x−x0)x2=4y⇒x2−2xx0+2x20−8=0,得△=4x20−4(2x20−8)>0⇒−2√2<x0<2√2,|MN|=√1+x204|x1−x2|=√(1+x204)(32−4x20)=√(4+x20)(8−x20),
設(shè)B(0,4)到MN的距離d=|BQ|=√x20+4,
∴S△ABC=12|MN|•d=12√(4+x20)(8−x20)•√x20+4=12√12(x20+4)(x20+4)(16−2x20)≤12√12(243)3=8,當(dāng)且僅當(dāng)x20+4=16−2x20,即x0=±2時(shí)取等號(hào).
∴S△MNP的最大值為8.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 2 | B. | 94 | C. | 4 | D. | 92 |
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