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19.若橢圓C1x24+y2b2=1(0<b<2)的離心率等于32,拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)在橢圓C1的頂點(diǎn)上.
(1)求拋物線C2的方程;
(2)設(shè)M(x1,y1)和N(x2,y2)為拋物線C2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中y1≠y2且y1+y2=4,線段MN的垂直平分線l與y軸交于點(diǎn)P,求△MNP面積的最大值.

分析 (1)由已知可得a=2,離心率e=ca=4b22=32,解得得b2.進(jìn)而定點(diǎn)拋物線的焦點(diǎn),可得p.
(2)設(shè)線段MN中點(diǎn)A(x0,y0),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率的計(jì)算公式可得:kMN=x02.可得直線l的方程為y2=2x0xx0,直線l過(guò)定點(diǎn)B(0,4).與拋物線方程聯(lián)立,再利用弦長(zhǎng)公式、根與系數(shù)的關(guān)系可得|MN|,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)B到MN的距離d,利用三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:(1)已知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a=2,半焦距c=4b2,由離心率e=ca=4b22=32,得b2=1.
∴橢圓的上頂點(diǎn)為(0,1),即拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),
∴p=2,拋物線的方程為x2=4y.
(2)設(shè)線段MN中點(diǎn)A(x0,y0),則x0=x1+x22y0=y1+y22kMN=y2y1x2x1=x224x214x2x1=14x1+x2=x02,
∴直線l的方程為y2=2x0xx0,即2x+x0(-4+y)=0,∴l(xiāng)過(guò)定點(diǎn)B(0,4).
聯(lián)立{y2=x02xx0x2=4yx22xx0+2x208=0,得△=4x2042x208022x022,|MN|=1+x204|x1x2|=1+x204324x20=4+x208x20,
設(shè)B(0,4)到MN的距離d=|BQ|=x20+4
SABC=12|MN|d=124+x208x20x20+4=1212x20+4x20+4162x2012122433=8,當(dāng)且僅當(dāng)x20+4=162x20,即x0=±2時(shí)取等號(hào).
∴S△MNP的最大值為8.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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