15．函數(shù)f（x）滿足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）對任意的x，y∈R均成立，且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0．
（1）求證：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性并證明．

分析 （1）由已知中f（3x+y）=3f（x）+f（y）對任意的x，y∈R均成立，令y=x可得f（4x）=4f（x），令x=0，y=0，可得f（0）=0，令y=0，可得：f（3x）=3f（x）；
（2）由已知結(jié)合（1）中結(jié)論，可得f（3x+y）-f（3x）=f（y）對任意的x，y∈R均成立，令x1=3x+y，x2=3x，且y＞0，可得x1＞x2，f（x1）＜f（x2），由函數(shù)單調(diào)性的定義，可得：f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．

解答 證明：（1）∵f（3x+y）=3f（x）+f（y）對任意的x，y∈R均成立，
令y=x，則f（3x+x）=3f（x）+f（x），
即f（4x）=4f（x），…2分；
令x=0，y=0，則f（0）=4f（0），即f（0）=0，
令y=0，則f（3x）=3f（x）；…4分
解：（2）f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，證明如下：
∵f（3x+y）=3f（x）+f（y）對任意的x，y∈R均成立，
∴f（3x+y）-3f（x）=f（y）對任意的x，y∈R均成立，
即f（3x+y）-f（3x）=f（y）對任意的x，y∈R均成立，
令x1=3x+y，x2=3x，且y＞0，
則x1＞x2，f（y）＜0，
f（3x+y）-f（3x）=f（x1）-f（x2）=f（y）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷及證明，難度中檔．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x}，x＞2}\\{（x-1）^{3}，x≤2}\end{array}\right.$，a∈R．
（1）當(dāng)a=2時，求方程f（x）=x-1的實數(shù)解；
（2）若方程f（x）=3x-1有且只有兩個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2ax-1，其定義域為[2，4]，求函數(shù)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

6．某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a1、b1千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料A和原料B分別為a2、b2千克．甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為d1、d2元．月初一次性購進(jìn)本月用原料A、B各c1、c2千克．要計劃本月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達(dá)到最大．在這個問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x千克、y千克，月利潤總額為z元，那么，用于求使總利潤z=d1x+d2y最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為（　　）
A．$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{a}_{2}y≥{c}_{1}}\\{_{1}x+_{2}y≥{c}_{2}}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$
B．$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+_{1}y≤{c}_{1}}\\{{a}_{2}x+_{2}y≤{c}_{2}}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$
C．$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{a}_{2}y≤{c}_{1}}\\{_{1}x+_{2}y≤{c}_{2}}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$
D．$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x+{a}_{2}y={c}_{1}}\\{_{1}x+_{2}y={c}_{2}}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．已知向量|$\vec a$|=5，|$\vec b$|=4，若$\vec a$與$\vec b$的夾角為120°，則向量$\vec b$在向量$\vec a$方向上的投影為-2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．下列命題說法正確的是（　�。�
A．命題：“若x2+y2=1，則x=0且y=1”的否命題是：“若x2+y2≠1，則x≠0且y≠1”
B．命題“?x∈R，x2+x-1＞0”的否定是“?x∈R，x2+x-1＜0”
C．函數(shù)y=f（x+1）是偶函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱
D．向量$\overrightarrow a∥\overrightarrow b\;，\;\overrightarrow b∥\overrightarrow c$，則$\overrightarrow a∥\overrightarrow c$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]時的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足c=2，a=3，f（B）=0，求邊b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

7．已知集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={y|y=2x-1，x≥0}，則A∩B=（　�。�
A．∅B．[0，1）∪（3，+∞）C．AD．B

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（${\sqrt{3}$，$\sqrt{2}}$），則|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=（　　）
A．$2\sqrt{2}$B．$2\sqrt{5}$C．$\sqrt{17}$D．$\sqrt{15}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．已知a，b，c∈R，對于任意的實數(shù)x，均有|ax2+bx+c|≥|x2-3x+2|．求|b2-4ac|的最小值．

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