Question

15．函數(shù)f（x）滿足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）對(duì)任意的x，y∈R均成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）求證：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（3x+y）=3f（x）+f（y）對(duì)任意的x，y∈R均成立，令y=x可得f（4x）=4f（x），令x=0，y=0，可得f（0）=0，令y=0，可得：f（3x）=3f（x）；
（2）由已知結(jié)合（1）中結(jié)論，可得f（3x+y）-f（3x）=f（y）對(duì)任意的x，y∈R均成立，令x₁=3x+y，x₂=3x，且y＞0，可得x₁＞x₂，f（x₁）＜f（x₂），由函數(shù)單調(diào)性的定義，可得：f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．

解答 證明：（1）∵f（3x+y）=3f（x）+f（y）對(duì)任意的x，y∈R均成立，
令y=x，則f（3x+x）=3f（x）+f（x），
即f（4x）=4f（x），…2分；
令x=0，y=0，則f（0）=4f（0），即f（0）=0，
令y=0，則f（3x）=3f（x）；…4分
解：（2）f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，證明如下：
∵f（3x+y）=3f（x）+f（y）對(duì)任意的x，y∈R均成立，
∴f（3x+y）-3f（x）=f（y）對(duì)任意的x，y∈R均成立，
即f（3x+y）-f（3x）=f（y）對(duì)任意的x，y∈R均成立，
令x₁=3x+y，x₂=3x，且y＞0，
則x₁＞x₂，f（y）＜0，
f（3x+y）-f（3x）=f（x₁）-f（x₂）=f（y）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷及證明，難度中檔．