Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的首項${a_1}=\frac{5}{4}$，且an+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{a}_{n}+\frac{1}{4}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，記${b_n}={a_{2n-1}}-\frac{1}{4}$，
（1）求b₁，b₂；
（2）求證{b_n}為等比數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列c_n=a_2n-1•（b_n-1），是否存在正整數(shù)k，使得對一切n∈N^*，都有c_n≥c_k恒成立，若存在求出c_k及k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由${a_1}=\frac{5}{4}$，且a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{a}_{n}+\frac{1}{4}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，記${b_n}={a_{2n-1}}-\frac{1}{4}$，可得b₁=a₁-$\frac{1}{4}$，a₂=${a}_{1}+\frac{1}{4}$，b₂=a₃-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}{a}_{2}$-$\frac{1}{4}$．
（2）b₁=1≠0，利用$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2n+1}}-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}{a_{2n}}-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}（{a_{2n-1}}+\frac{1}{4}）-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}{a_{2n-1}}-\frac{1}{8}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}$，即可證明．
（3）${c_n}=（{b_n}+\frac{1}{4}）•（{b_n}-1）={（{b_n}-\frac{3}{8}）^2}-\frac{25}{64}$，b_n∈（0，1]，設(shè)b_n=t∈（0，1]，$y={（{t-\frac{3}{8}}）^2}-\frac{25}{64}$，當(dāng)n=2時，當(dāng)n=3時，即可得出．

解答 解：（1）由${a_1}=\frac{5}{4}$，且a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{a}_{n}+\frac{1}{4}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，記${b_n}={a_{2n-1}}-\frac{1}{4}$，
∴b₁=a₁-$\frac{1}{4}$=1，a₂=${a}_{1}+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$，b₂=a₃-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}{a}_{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$．（2分）
（2）b₁=1≠0，
$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2n+1}}-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}{a_{2n}}-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}（{a_{2n-1}}+\frac{1}{4}）-\frac{1}{4}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}{a_{2n-1}}-\frac{1}{8}}}{{{a_{2n-1}}-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}$，
∴{b_n}是以1為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列．  …（6分）
（3）${c_n}=（{b_n}+\frac{1}{4}）•（{b_n}-1）={（{b_n}-\frac{3}{8}）^2}-\frac{25}{64}$，b_n∈（0，1]，…（8分）
設(shè)b_n=t∈（0，1]，$y={（{t-\frac{3}{8}}）^2}-\frac{25}{64}$，
當(dāng)n=2時，$t=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{3}{8}$；
當(dāng)n=3時，$t=\frac{1}{4}$，$y=-\frac{3}{8}$；…（10分）
故存在k=2，3使得${c_k}=-\frac{3}{8}$滿足題意．…（12分）

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．