Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為x²-2x+y²=0，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）．
（Ⅰ）寫出C的極坐標(biāo)方程，并求l與C的交點M，N的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的動點，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ寫出C的極坐標(biāo)方程，并求l與C的交點M，N的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)P點坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），則P到直線y=x的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ|}{\sqrt{2}}$，利用三角形的面積公式，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因為x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，（2分）
直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}-2x+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，（4分）
所以點M，N的極坐標(biāo)分別為（0，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）易得|MN|=$\sqrt{2}$ （6分）
因為P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的點，設(shè)P點坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），（7分）
則P到直線y=x的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ|}{\sqrt{2}}$，（8分）
所以S_△PMN=$\frac{1}{2}|MN|d$=$\frac{|2cos（θ+\frac{π}{6}）|}{2}$≤1，（9分）
當(dāng)θ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z時，S_△PMN取得最大值1．（10分）

點評 本小題考查直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想．