Question

7．在△ABC中，∠A=2∠B，∠C的平分線交AB于點(diǎn)D，∠A的平分線交CD于點(diǎn)E．求證：AD•BC=BD•AC．

Answer 1

分析 證明△ACD～△BCD，所以$\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}$，即AE•BC=BD•AC，證明AD=AE，即可證明結(jié)論．

解答 證明：因?yàn)椤螩AB=2∠B，AE為∠CAB的平分線，所以∠CAE=∠B，
又因?yàn)镃D是∠C的平分線，所以∠ECA=∠DCB，
所以△ACD～△BCD，所以$\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}$，即AE•BC=BD•AC，
又因?yàn)椤螦ED=∠CAE+∠ECA，∠ADE=∠B+∠DCB，
所以∠AED=∠ADE，所以AD=AE，
所以AD•BC=BD•AC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段和相似三角形的判定，證明乘積式的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化證明比例式，最終轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)三角形相似得到．