【題目】一個圓錐的體積為，當(dāng)這個圓錐的側(cè)面積最小時，其母線與底面所成角的正切值為（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

首先設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，從而求得圓錐的母線長為，利用圓錐的體積公式以及題中的條件，得到，將圓錐的側(cè)面積表示出來，之后設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)，取得最小值，從而求得圓錐的側(cè)面積取得最小值時，此時，進而求得圓錐的母線與底面所成角的正切值為，從而求得結(jié)果.

設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，

所以圓錐的母線長為，

所以圓錐的體積為，

所以，

因為圓錐的側(cè)面積，

設(shè)，

所以，

所以當(dāng)時，，，

此時單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，，

此時單調(diào)遞減，

所以當(dāng)，取得最小值，

即圓錐的側(cè)面積取得最小值，

所以，

所以圓錐的母線與底面所成角的正切值為，

故選D.

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A. B. C. D.

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