Question

6．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{{x}^{2}+4x+7}{x+1}$，g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$，實(shí)數(shù)a，b滿足a＜b＜-1，若?x₁∈[a，b]，?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，則b-a的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出g（x）_max=g（1）=3，令t=x-1（t＜0），設(shè)h（t）=-2-（t-$\frac{4}{t}$），作函數(shù)y=f（t）的圖象如圖所示，由f（t）=3得t=-1或t=-4，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{7}{2}$，
∴g′（x）=$\frac{（1+x）（1-x）}{x}$，
∴0＜x＜1時(shí)＜X，g′（x）＞0；x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）_max=g（1）=3．
f（x）=-$\frac{{x}^{2}+4x+7}{x+1}$=-2+（-x-1-$\frac{4}{x+1}$），
令t=x+1（t＜0），設(shè)h（t）=-2+（-t-$\frac{4}{t}$），作函數(shù)y=h（t）的圖象如圖所示，
由f（t）=3得t=-1或t=-4，
∴b-a的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的最大值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．