Question

若F₁、F₂分別是橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)在左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2

3

．
（1）求出這個(gè)橢圓的方程；
（2）是否存在過(guò)定點(diǎn)N（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，使∠AOB=90°（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線l的斜率k，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2

3

，可得a=2，c=

3

，從而可求橢圓的方程；
（2）設(shè)方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及

OA

•

OB

=0，即可求出直線l的斜率k．

解答：解：（1）依題意，∵|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2

3

∴2a=4，2c=2

3

，∴a=2，c=

3

，∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題設(shè)條件，設(shè)方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組

x2 4 +y2=1 y=kx+2

，消元可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∴x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

由△=256k²-4（1+4k²）×12＞0，可得k2＞

3

4

①
∵∠AOB=90°，∴

OA

•

OB

=0
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

4(4-k2)

1+4k2

 =0
∴k²=4②
由①②可得，k=±2

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解．