Question

若F₁、F₂分別是橢圓在左、右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）求出這個(gè)橢圓的方程；
（2）是否存在過定點(diǎn)N（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，使∠AOB=90°（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線l的斜率k，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，可得a=2，c=，從而可求橢圓的方程；
（2）設(shè)方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及，即可求出直線l的斜率k．
解答：解：（1）依題意，∵
∴2a=4，2c=2，∴a=2，c=，∴
∴橢圓的方程為；
（2）顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題設(shè)條件，設(shè)方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組，消元可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∴x₁+x₂=，
由△=256k²-4（1+4k²）×12＞0，可得①
∵∠AOB=90°，∴
∴
∴k²=4②
由①②可得，k=±2
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解．