Question

5．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.\;\;\;（t$為參數(shù)，0＜α＜π），曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)點P的直角坐標為P（2，1），直線l與曲線C相交于A、B兩點，并且$|PA|•|PB|=\frac{28}{3}$，求tanα的值．

Answer 1

分析 （I）對極坐標方程兩邊同乘ρ，得到直角坐標方程；
（II）將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，利用參數(shù)意義和根與系數(shù)的關(guān)系列出方程解出α．

解答 解：（I）∵ρsin²θ=4cosθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為y²=4x．
（II）將$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$代入y²=4x，得sin²α•t²+（2sinα-4cosα）t-7=0，
所以$|{t_1}{t_2}|=\frac{7}{{{{sin}^2}α}}=\frac{28}{3}$，
所以${sin^2}α=\frac{3}{4}$，$α=\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，即$tanα=\sqrt{3}$或$tanα=-\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，桉樹方程的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．