Question

6．已知圓C：（x+2）²+y²=1，P（x，y）為圓C上任意一點(diǎn)．
（1）求$\frac{y-2}{x-1}$的最大值和最小值；
（2）求x-2y的最大值和最小值；
（3）求（x-1）²+（y-1）²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）$\frac{y-2}{x-1}$表示圓上的點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)M（1，2）連線的斜率，設(shè)為k，則過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為y-2=k（x-1），由圓心到切線的距離等于半徑，求得k的值，可得$\frac{y-2}{x-1}$的最大值和最小值．
（2）令t=x-2y，則當(dāng)圓（x+2）²+y²=1和此直線相切時(shí)，t取得最值．再根據(jù)圓心（-2，0）到直線x-2y-t=0的距離為1，求得t的值，即為所求．
（3）求出（-2，0）與（1，1）的距離為$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$，即可求（x-1）²+（y-1）²的最大值和最小值．

解答 解：（1）$\frac{y-2}{x-1}$表示圓上的點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)M（1，2）連線的斜率，
設(shè)為k，則過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為y-2=k（x-1），
即 kx-y+2-k=0，由圓心到切線的距離等于半徑，可得 $\frac{|-2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=$\frac{3}{4}$±$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故$\frac{y-2}{x-1}$的最大值為$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，最小值為$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）令t=x-2y，即y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$t，表示斜率為$\frac{1}{2}$、在y軸上的截距為-$\frac{t}{2}$的直線，
故當(dāng)此直線和圓（x+2）²+y²=1相切時(shí)，t取得最值．
由圓心（-2，0）到直線x-2y-t=0的距離為半徑1，可得$\frac{|-2-0-t|}{\sqrt{5}}$=1，
求得t=-2-$\sqrt{5}$，或t=-2+$\sqrt{5}$，
故t=x-2y的最大值為-2+$\sqrt{5}$，t=x-2y的最小值為-2-$\sqrt{5}$．
（3）（-2，0）與（1，1）的距離為$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$，
∴（x-1）²+（y-1）²的最大值為（$\sqrt{10}$+1）²=11+2$\sqrt{10}$，最小值為（$\sqrt{10}$-1）²=11-2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線的斜率公式，直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．