Question

17．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PA=AD，點E為AB中點，點F在線段PD上，且PF：FD=1：3．
（1）證明平面PED⊥平面FAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，推導(dǎo)出△ADB為等邊三角形，從而AB⊥DE，由線面垂直得AB⊥PD，由此能證明AB⊥面PED，從而平面PED⊥平面FAB．
（2）由線面垂直得AB⊥PE，連結(jié)EF，則AB⊥PE，∠PEF為二面角P-AB-F的平面角，由此能求出二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)BD，
∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB為等邊三角形，
∵E是AB中點，∴AB⊥DE，
∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD，
∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD=D，
∴AB⊥面PED，
∵AB?平面FAB，∴平面PED⊥平面FAB．
解：（2）∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE，
連結(jié)EF，∵EF?面PED，∴AB⊥PE，
∴∠PEF為二面角P-AB-F的平面角，
設(shè)AD=4，則PF=1，F(xiàn)D=3，DE=2$\sqrt{3}$，
在△PEF中，PE=2$\sqrt{7}$，EF=$\sqrt{21}$，PF=1，
∴cos∠PEF=$\frac{（2\sqrt{7}）^{2}+（\sqrt{21}）^{2}-{1}^{2}}{2×2\sqrt{7}×\sqrt{21}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值為$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．