Question

在△ABC中，∠C=60°，c=2

2

，周長(zhǎng)為2（1+

2

+

3

），則∠A=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：根據(jù)題意和余弦定理列出方程組，利用整體代換和韋達(dá)定理求出a的值，再由正弦定理求出sinA，由內(nèi)角和定理的特殊角的三角函數(shù)值求出角A．

解答： 解：由題意知在△ABC中，∠C=60°，c=2

2

，
則由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
所以8=a²+b²-ab，即8=（a+b）²-3ab，①
因?yàn)閏=2

2

，周長(zhǎng)為2（1+

2

+

3

），所以a+b=2（1+

3

），②
由①②得，ab=

8(1+ 3 )

3

，③，
由②③得，a、b是方程x2-2(1+

3

)x+

8(1+ 3 )

3

=0，
即方程為3x2-6(1+

3

)x+8(1+

3

)=0
則△=36(1+

3

)2-4×3×8(1+

3

)=48-24

3

=4（12-6

3

）=4(3-

3

)2
解得方程的兩個(gè)根是

4 3

3

或

6+2 3

6

，
所以a=

4 3

3

或

6+2 3

6

，
由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

=

2 2

sin60°

=

4 6

3

，
則sinA=

a

4 6 3

=

6

8

a=

2

2

或

6 + 3

4

，
因?yàn)?span id="ubqwhc8" class="MathJye">

6 + 3

4

＞1，所以sinA=

2

2

，
則A=45°或135°，
當(dāng)A=135°時(shí)，A+C=135°+60°=195°＞180°，舍去，
所以A=45°，
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦、余弦定理，內(nèi)角和定理，整體代換和韋達(dá)定理，以及化簡(jiǎn)、變形、計(jì)算能力，考查了方程思想．