Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在$[0，\frac{π}{2n}]$上的面積為$\frac{1}{n}$（n∈N^*），則函數(shù)y=sin（3x-π）+2在$[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$上的面積為$2π+\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 首先通過類比可以得出y=sin3x在[0，π]上的面積．設(shè)t=x-$\frac{π}{3}$，t∈[0，π]，則y=sin3t+2，得到封閉圖形的面積．

解答 解：設(shè)t=x-$\frac{π}{3}$，t∈[0，π]，則y=sin3t+2，∵函數(shù)y=sinnx在[0，$\frac{π}{2n}$]上的面積為$\frac{1}{n}$（n∈N^*），∴對于函數(shù)y=sin3x而言，n=3，
∴y=sin3x在[0，$\frac{π}{6}$]上的面積為$\frac{1}{3}$；所以在[0，$\frac{π}{3}$]的面積為$\frac{2}{3}$，在[0，π]的面積為2；
∴y=sin（3x-π）+2在$[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$上的面積為2π+2，
故答案為：2π+2；

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)與封閉圖形的面積；在解題過程中，尋找解題的突破口，往往離不開類比聯(lián)想，我們在解題中，要進(jìn)一步通過概念類比、性質(zhì)類比、結(jié)構(gòu)類比以及方法類比等思維訓(xùn)練途徑，來提高類比推理的能力．